A5.4 Arrhenius-ligningen
Mad holder sig længere i køleskabet, og feber får kroppens reaktioner til at gå hurtigere. I afsnit B1.4 lærte du tommelfingerreglen: 10 °C mere giver omkring dobbelt så høj hastighed. Nu får du den ligning, reglen kommer fra.
Temperaturen ændrer hastighedskonstanten
Koncentrationerne i hastighedsudtrykket ændrer sig ikke, når en opløsning varmes op. Det er hastighedskonstanten k, der vokser.
Kurven er ikke en ret linje. Den bliver stejlere og stejlere: fra 20 °C til 60 °C bliver k omkring 200 gange så stor.
Arrhenius-ligningen
Sammenhængen mellem hastighedskonstanten og temperaturen hedder Arrhenius-ligningen:
\[ k = A \cdot e^{-\frac{E_\mathrm{a}}{R \cdot T}} \]
- Ea er aktiveringsenergien fra afsnit B1.3: den energi, et sammenstød mindst skal have, for at molekylerne reagerer.
- A er frekvensfaktoren. Den fortæller, hvor tit molekylerne støder sammen på den rigtige måde. Den har samme enhed som k.
- R er gaskonstanten, 8,314 J/(mol · K), og T er temperaturen i kelvin.
Leddet med e er den brøkdel af sammenstødene, der har energi nok. Stiger temperaturen, bliver brøkdelen større. Er aktiveringsenergien høj, er brøkdelen lille.
En ret linje
Tages den naturlige logaritme på begge sider af Arrhenius-ligningen, fås
\[ \ln k = -\frac{E_\mathrm{a}}{R} \cdot \frac{1}{T} + \ln A \]
| I den rette linje y = a · x + b | I Arrhenius-ligningen |
|---|---|
| y | ln k |
| x | 1/T |
| hældningen a | −Ea / R |
| skæringen b med y-aksen | ln A |
Afbildes ln k som funktion af 1/T, ligger punkterne på en ret linje. Det er samme slags graf som for ligevægtskonstanten i afsnit A2.6. Aktiveringsenergien findes af hældningen:
\[ E_\mathrm{a} = -a \cdot R \]
Aktiveringsenergien er altid positiv, så linjen falder altid mod højre.
I sur opløsning spaltes saccharose til glucose og fructose. Det sker i mavesækken, og når man koger syltetøj. Reaktionen er af første orden med hensyn til saccharose. Tabellen viser hastighedskonstanten ved fem temperaturer. Bestem aktiveringsenergien.
| t i °C | T i K | k i s−1 | 1/T i K−1 | ln(k / s−1) |
|---|---|---|---|---|
| 20 | 293 | 0,48 · 10−5 | 3,413 · 10−3 | −12,247 |
| 30 | 303 | 2,00 · 10−5 | 3,300 · 10−3 | −10,820 |
| 40 | 313 | 8,3 · 10−5 | 3,195 · 10−3 | −9,397 |
| 50 | 323 | 28,2 · 10−5 | 3,096 · 10−3 | −8,174 |
| 60 | 333 | 98,0 · 10−5 | 3,003 · 10−3 | −6,928 |
Graf og regression
Lineær regression giver modellen
\[ \ln(k / \mathrm{s^{-1}}) = -12\,968\ \mathrm{K} \cdot \frac{1}{T} + 32{,}00 \]
Punkterne ligger tæt på linjen og tilfældigt omkring den, og r2 = 0,9999. Målingerne følger Arrhenius-ligningen.
Aktiveringsenergien
\[ E_\mathrm{a} = -a \cdot R = 12\,968\ \mathrm{K} \cdot 8{,}314\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol \cdot K}} = 1{,}078 \cdot 10^{5}\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}} \]
Konklusion
Aktiveringsenergien er Ea = 108 kJ/mol. Skæringen giver frekvensfaktoren: A = e32,00 s−1 = 7,9 · 1013 s−1.
Brug modellen til en ny temperatur
Modellen kan bruges til at beregne hastighedskonstanten ved en temperatur, der ikke er målt ved. Ved kroppens temperatur, 37 °C, er T = (273 + 37) K = 310 K:
\[ \ln(k / \mathrm{s^{-1}}) = -12\,968\ \mathrm{K} \cdot \frac{1}{310\ \mathrm{K}} + 32{,}00 = -9{,}83 \]
\[ k = e^{-9{,}83}\ \mathrm{s^{-1}} = 5{,}4 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}} \]
To temperaturer
Kender man aktiveringsenergien, kan man beregne, hvor meget hurtigere reaktionen går ved en højere temperatur. Skrives det lineære udtryk op for to temperaturer, og trækkes de to ligninger fra hinanden, går ln A ud:
\[ \ln\left( \frac{k_2}{k_1} \right) = \frac{E_\mathrm{a}}{R} \cdot \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) \]
Den samme ligning kan bruges den anden vej: kender man k ved to temperaturer, kan Ea beregnes.
Jo større aktiveringsenergien er, jo mere betyder temperaturen. For spaltningen af saccharose med Ea = 108 kJ/mol giver 10 °C mere en hastighed, der er omkring 4 gange så stor.
- Regn altid temperaturen om til kelvin, før du beregner 1/T.
- Skriv det lineære udtryk ln k = −Ea / R · 1/T + ln A, og fortæl, hvad hældningen og skæringen er.
- Hældningen har enheden K. Ganges den med R, fås Ea i J/mol. Regn om til kJ/mol til sidst.
- Vis grafen med punkter og linje, og vurdér modellen som i de foregående afsnit.
- Aktiveringsenergien skal være positiv. Får du et negativt tal, har du glemt et fortegn.